CUPRINS
Prefata 5
Capitolul
1. Aproximarea numerelor. Erori de
calcul
§ 1.1. Rezolvarea problemelor tehnice cu ajutorul
calculatorului §i rolul analizei numerice 7
§ 1.2. Erori de calcul 10
1.2.1. Erori absolute §i relative 11
1.2.2. Sursele erorilor §i ciasificarea lor 13
1.2.3. Propagarea erorilor 20
§ 1.3. Instability numerice si tratarea lor 25
1.3.1. Insumarea unei sume convergente 25
1.3.2. Anularea prin scadere 26
1.3.3. Erori in evaluarea recurenta a unei integrale definite 28
§ 1.4. Probleme propuse 30
Capitolul
2. Rezolvarea numerica a
ecua£iiior si sistemelor algebrice neliniare
§ 2.1. Ecuatii algebrice neliniare cu o necunoscuta 34
2.1.1. Metoda bisectiei (metoda injumatatirii intervalului) 34
2.1.2. Metoda aproximatiilor succesive 34
2.1.3. Ordinul unei metode 42
2.1.4. Accelerarea convergentei. Metoda lui Aitken si Steffensen 44
2.1.5. Metoda lui Newton si variantele sale 46
§ 2.2 Metode numerice de solutionare a ecuatiilor polinominale 54
2.2.1. Algoritmul lui Horner 54
2.2.2. Metoda lui Bairstow 55
§ 2.3. Sisteme algebrice neliniare 58
2.3.1. Metode aproximative succesive in R2 58
2.3.2. Metoda lui Newton in Rn 61
2.3.3. Metoda gradientului 63
§ 2.4. Probleme propuse 67
Capitolul
3. Rezolvarea sistemelor algebrice
liniare
§ 3.1. Norme pentru vectori si matrici 72
§ 3.2. Metode directe 73
3.2.1. Metoda eliminarii a lui Gauss 74
3.2.1.1. Imbunatatjirea solutiei 77
3.2.1.2. Efectul incertitudinii din coeficientii asupra solutiei 78
3.2.2. Factorizarea L.U 85
3.2.2.1. Metoda lui Cholsky 88
3.2.2.2. Sisteme tridiationale 89
§ 3.3 Metode iterative 90
3.3.1. Metoda iteratiei simple. Conditii necesare si suficiente de convergent 91
3.3.2. Metoda, lui Jacobi metoda. 93
3.3.3. Metoda Gauss-Siedel (metoda deplasarilor succesive) 94
3.3.4. Cresterea vitezei de convergent a proceselor iterative.
Metoda suprarelaxarii succesive 95
3.3.4.1. Matrici simetrice si pozitiv definite 99
3.3.5. Metode de descrestere 103
3.3.5.1. Minimizarea unei functionale 103
3.3.5.2. Scalarul optimal pentru o directie fixa 104
3.3.5.3. Metode de tip gradient 107
3.3.5.4. Metoda gradientului conjugat 110
3.3.5.5. Cresterea vitezei de convergenta. Preconditionarea unei matrici 113
§ 3.4. Probleme propuse 115
Capitolul
4. Metode pentru calculul valorilor
si vectorilor proprii
§ 4.1. Valori proprii si vectori proprii. Generalitati 117
4.1.1. Propriety ale valorilor si vectorilor proprii 120
4.1.2. Reducerea matricelor prin transformari similare 121
4.1.3. Metode de localizare a valorilor proprii 125
§ 4.2. Algoritmi de calcul pentru valorile si vectorii
proprii asocial unei matrice 127
4.2.1. Algoritmii puterii iterate 129
4.2.2. Metoda lui Krilov 132
4.2.3. Algoritmul (metoda) Leverrier 136
4.2.4. Algoritmul L-R (left-right-stanga-dreapta) 138
4.2.5. Algoritmul Q-R pentru calculul valorilor proprii 141
4.2.6. Algoritmi de calcul pentru valorile proprii si vectorii proprii in cazul matricilor hermitiene 143
4.2.7. Algoritmul lui Jacobi 145
4.2.8. Metoda de tridiagonalizare a matricilor simetrice 154
§ 4.3. Comentarii asupra algoritmilor de calcul pentru valorile
proprii si vectorii proprii ai unei matrici 158
4.3.1. Algoritmul puterii directe (iterate) 158
4.3.2. Algoritmul puterii cu deplasarea originii 159
4.3.3. Algoritmul puterii inverse) 159
4.3.4. Algoritmul lui Danielevski 160
4.3.5. Aigoritmui Leverrier 160
4.3.6. Algoritmul lui Fadeev-Frame 160
4.3.7. Algoritmul lui Reyligh 160
4.3.8. Algoritmii L-R si Q-R 161
4.3.9. Algoritmul Givens 161
4.3.10. Algoritmul Givens-Hauseholder 162
§ 4.4. Probleme propuse 162
Capitolul
5. Aproximarea functiilor prin
polinoame
§ 5.1. Aproximarea prin interpolare 168
5.1.1. Interpolarea polinoarniala Lagrange 168
5.1.2. Diferente divizate. Exprimarea polinoamului lui Lagrange prin diferene divizate 170
5.1.3. Diferente finite. Polinoamele lui Newton si Gauss 172
5.1.4. Evaluarea restului de interpolare 179
5.1.5. Interpolarea prin functii spline cubice 181
5.1.6. Interpolarea polinomiala Hermite 187
§ 5.2. Aproximarea in medie patratica 188
5.2.1. Aproximarea in medie patratica prin polinoame algebrice — 188
5.2.2. Metoda ceior mai mici patrate. Ajustarea functiilor 190
§ 5.3. Probleme propuse 195
Capitolul
6. Derivarea si integrarea numerica
§ 6.1. Derivarea numerica 197
6.1.1. Derivarea numerica folosind polinoamele de interpolare 197
6.1.2. Derivarea numerica folosind formula lui Taylor 201
6.1.3. Stabilitatea formulelor de derivare numerica 204
§ 6.2. Integrarea numerica 206
6.2.1. Formulele de cuadratura de tip interpolator 207
6.2.1.1. Formulele de cuadratura Newton-Cotes 210
6.2.1.1.1. Formula trapezului simpla si sumata 212
6.2.1.1.2. Formula lui Simpson simpla si sumata 215
6.2.1.1.3. Formula dreptunghiului simpla si sumata 219
6.2.2. Stabilitate. Convergent 221
6.2.3. Formulele de cuadratura de tip Gauss 224
§ 6.3. Integrarea gxanua 234
§ 6.4. Probleme propuse 237
Capitolul
7. Metode numerice de rezolvare a
ecuatiilor diferentiale si a sistemelor de ecuatii diferentiale
§ 7.1. Generality 241
§ 7.2. Metode numerice directe (unipas) 243
7.2.1. Convergenta, stabilitate si consistenta 244
7.2.2. Eroarea de discretizare, ordinul metodei, A-stabilitate 247
7.2.3. Metoda lui Euler 248
7.2.4. Metoda seriilor Taylor 250
7.2.5. Metodele Runge-Kutta 251
7.2.6. Metoda Runge-Kutta de ordinul patru pentru sisteme de ecuatii diferentiale si ecuatii diferentiale de ordin superior 260
§ 7.3. Metode numerice indirecte (multipas) 261
7.3.1. Metoda Adams-Bashforth 263
7.3.2. Metoda Adams-Moulton 266
7.3.3. Metoda Adams-Bashforth-Moulton (predictor-corector) 268
7.3.4. Consistent stabilitate, convergenta, ordinul unei metode 270
§ 7.4. Probleme cu condign la limita pentru ecuatii differentiate ordinare 274
7.4.1. Metoda diferentelor finite 275
7.4.2. Metoda colocatiei 279
§ 7.5 Probleme propuse 280
Capitolul
8. Rezolvarea numerica a ecuatiilor cu
derivate partiale
§ 8.1. Metoda cu diferente finite (metoda retelelor) 284
8.1.1. Discretizare. Aproximarea derivatelor partiale 284
8.1.2. Consistenta, stabilitate si convergenta 287
8.1.2.1. Metoda matriciala 288
8.1.2.2. Stabilitatea in sens von Neumann 291
8.1.3. Metoda retelelor pentru ecuatii eliptice 293
§ 8.2. Metoda reziduului ponderat 296
8.2.1. Metoda volumului finit 299
8.2.1.1. Metoda volumului finit pentru E.D.P.-uri de ordinul I 299
8.2.1.2. Metoda volumului finit pentru E.D.P.-uri de ordinul II 301
8.2.2. Metoda spectrala 303
§ 8.3. Metode aproximative in calculul variational 305
8.3.1. Metoda lui Euler (metoda liniilor frante) 306
8.3.2. Metoda lui Ritz. Metoda lui Kantorovici 308
8.3.2.1. Metoda lui Ritz 308
8.3.2.2 Metoda lui Kantorovici 311
§ 8.4. Metoda elementelor finite (MEF) 314
8.4.1. Proprietati topologice in metoda elementelor finite 314
8.4.2. Sisteme de coordonate locale si globale. Functii de interpolare 320
8.4.3. Stabilirea modelului numeric cu elemente finite prin metoda lui Galerkin 326
§ 8.5. Probleme propuse 330
BIBLIOGRAFIE 333